题目内容

已知点P是椭圆 $数学公式$ + $数学公式$ =1上的一点，F₁、F₂是椭圆的两个焦点，∠F₁PF₂=60°，则△F₁PF₂的面积是________．

$\text{[math]}$
分析：利用椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=4 $\text{[math]}$ ，又|F₁F₂|=2 $\text{[math]}$ ，∠F₁PF₂=60°，利用余弦定理可求得|PF₁|•|PF₂|，从而可求得△F₁PF₂的面积．
解答：∵P是椭圆 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1上的一点，F₁、F₂是椭圆的两个焦点，∠F₁PF₂=60°，
∴|PF₁|+|PF₂|=4 $\text{[math]}$ ，|F₁F₂|=2 $\text{[math]}$ ，
在△F₁PF₂中，由余弦定理得：
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂= $\text{[math]}$ -2|PF₁|•|PF₂|-2|PF₁|•|PF₂|cos60°
=32-2|PF₁|•|PF₂|-2|PF₁|•|PF₂|× $\text{[math]}$
=32-3|PF₁|•|PF₂|=20，
∴|PF₁|•|PF₂|=4，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ |PF₁|•|PF₂|sin60°= $\text{[math]}$ ×4× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查椭圆的简单性质与标准方程，考查余弦定理与三角形的面积，属于中档题．

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A．（0，3）
B．（2

，3）
C．（0，4）
D．（0，2

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