Question

下列四个图象中，有一个是函数f（x）=

1

3

x³+ax²+（a²-4）x+1（a∈R，a≠0）的导函数y=f′（x）的图象，则f（1）=（　　）

• A、

  10

  3

• B、

  4

  3

• C、-

  2

  3

• D、1

Answer 1

考点：导数的运算,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：先求出f′（x）=（x+a）²-4，根据开口方向，对称轴，判断哪一个图象是导函数y=f′（x）的图象，再根据图象求出a的值，最后求出f（1）．

解答： 解：∵f（x）=

1

3

x³+ax²+（a²-4）x+1，
∴f′（x）=x²+2ax+（a²-4）=（x+a）²-4，
∴开口向上，对称轴x=-a，
∵a∈R，a≠0
∴只有第三个图是导函数y=f′（x）的图象，
∴a²-4=0，x=-a＞0，
∴a=-2，
∴f（x）=

1

3

x³-2x²+1，
∴f（1）=-

2

3

，
故选：C．

点评：本题主要考查了函数的图象的性质以及求函数的导数，找到图象的对称轴是关键，属于基础题．