题目内容
10．设双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的离心率为e，则斜率为k的直线与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是（ ）| A． | k2-e2＞1 | B． | k2-e2＜1 | C． | e2-k2＞1 | D． | e2-k2＜1 |
分析 设直线方程为：y=k（x-c）代入双曲线方程得：（b2-a2k2）x2+2a2k2cx-a2k2c2-a2b2=0，方程有两根，x1•x2=（-a2k2c2-a2b2）÷（b2-a2k2）＜0，因-a2k2c2-a2b2必定小于0，故只需：b2-a2k2＞0即可，由此能求出结果．
解答 解：由题意可设直线方程为：y=k（x-c）代入双曲线方程得：
（b2-a2k2）x2+2a2k2cx-a2k2c2-a2b2=0，方程有两根，可设为x1＞0，x2＜0：
x1•x2=（-a2k2c2-a2b2）÷（b2-a2k2）＜0，
因-a2k2c2-a2b2必定小于0，故只需：b2-a2k2＞0即可，
b2-a2k2=c2-a2-a2k2=a2e2-a2-a2k2=a2（e2-1-k2）＞0，
e2-1-k2＞0，
即e2-k2＞1．
反之当e2-k2＞1时，直线l与双曲线C的左右两支都相交，
故直线l与双曲线C的左右两支都相交的充要条件是e2-k2＞1，
故选：C．
点评 本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断和应用，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的灵活运用．
练习册系列答案
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1．如果关于x的方程x2+（k+2i）x+3+ki=0有实根，则（ ）
| A． | k≥4或k≤-4 | B． | $k≥\sqrt{2}$或$k≤-2\sqrt{2}$ | C． | $k=±2\sqrt{3}$ | D． | $k=±2\sqrt{2}$ |
18．设$α∈（0，\frac{π}{2}），β∈（0，\frac{π}{4}）$，且tanα=$\frac{cosβ+sinβ}{cosβ-sinβ}$，则下列正确的是（ ）
| A． | $2α-β=\frac{π}{4}$ | B． | $2α+β=\frac{π}{4}$ | C． | $α-β=\frac{π}{4}$ | D． | $α+β=\frac{π}{4}$ |
5．cos2017°=（ ）
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