Question

1．已知α∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），tan（α-$\frac{π}{6}$）=-2，则sinα=（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}-2\sqrt{15}}}{10}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}+2\sqrt{15}}}{10}$
• C． $\frac{{\sqrt{15}+2\sqrt{5}}}{10}$
• D． $\frac{{\sqrt{15}-2\sqrt{5}}}{10}$

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，求得sin（α-$\frac{π}{6}$） 和 cos（α-$\frac{π}{6}$）的值，再利用两角和的正弦公式求得sinα的值．

解答 解：∵α∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），∴α-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），又 tan（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{sin（α-\frac{π}{6}）}{cos（α-\frac{π}{6}）}$=-2＜0，
∴α-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{2}$，0），∴sin（α-$\frac{π}{6}$）＜0，cos（α-$\frac{π}{6}$）＞0．
再根据 ${sin}^{2}（α-\frac{π}{6}）$+${cos}^{2}（α-\frac{π}{6}）$=1，可得sin（α-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sinα=sin[（α-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=sin（α-$\frac{π}{6}$）•cos$\frac{π}{6}$+cos（α-$\frac{π}{6}$） sin$\frac{π}{6}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{5}•\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{5}-2\sqrt{15}}{10}$，
故选：A．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，两角和的正弦公式的应用，属于中档题．