Question

11．已知抛物线C的方程为y²=2px（p＞0），点R（1，2）在抛物线C上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点Q（1，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B．若直线AR，BR分别交直线l：y=2x+2于M，N两点，求线段MN最小时直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）由点R（1，2）在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，求出p=2，由此能求出抛物线C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂y₂），设直线AB的方程为x=m（y-1）+1，m≠0，设直线AR的方程为y=k₁（x-1）+2，由已知条件推导出x_M=-$\frac{2}{{y}_{1}}$，x_N=-$\frac{2}{{y}_{2}}$，由此求出|MN|=2$\sqrt{5}$$\frac{\sqrt{{m}^{2}-m+1}}{|m-1|}$，再用换元法能求出|MN|的最小值及此时直线AB的方程．

解答 解：（1）∵点R（1，2）在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，
∴4=2p，解得p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂y₂），直线AB的方程为x=m（y-1）+1，m≠0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=m（y-1）+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x，并整理，得：y²-4my+4（m-1）=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=4（m-1），
设直线AR的方程为y=k₁（x-1）+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}（x-1）+2}\\{y=2x+2}\end{array}\right.$，解得点M的横坐标x_M=$\frac{{k}_{1}}{{k}_{1}-2}$，
又k₁=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-1}$=$\frac{4}{{y}_{1}+2}$，
∴x_M=$\frac{{k}_{1}}{{k}_{1}-2}$=-$\frac{2}{{y}_{1}}$，
同理点N的横坐标x_N=-$\frac{2}{{y}_{2}}$，
|y₂-y₁|=$\sqrt{（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=4$\sqrt{{m}^{2}-m+1}$，
∴|MN|=|x_M-x_N|=$\sqrt{5}$|-$\frac{2}{{y}_{1}}$+$\frac{2}{{y}_{2}}$|=2$\sqrt{5}$|$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{y}_{2}{y}_{1}}$|，
=8$\sqrt{5}$$\frac{\sqrt{{m}^{2}-m+1}}{4|m-1|}$=2$\sqrt{5}$$\frac{\sqrt{{m}^{2}-m+1}}{|m-1|}$，
令m-1=t，t≠0，则m=t=1，
∴|MN|=2$\sqrt{5}$$\sqrt{（\frac{1}{t}+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$≥$\sqrt{15}$，
即当t=-2，m=-1时，|MN|取最小值为$\sqrt{15}$，
此时直线AB的方程为x+y-2=0

点评 本题考查抛物线方程的求法，考查线段的最小值的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意换元法的合理运用．