Question

2．已知抛物线y²=2px（p＞0），过其焦点且斜率为2的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为x=-2．

Answer 1

分析 求出直线AB的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系列方程解出p，从而得出准线方程．

解答 解：抛物线的焦点为（$\frac{p}{2}$，0），
∴直线AB的方程为：y=2（x-$\frac{p}{2}$），即y=2x-p，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=2x-p}\end{array}\right.$，消元得：4x²-6px+p²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{6p}{4}=6$，∴p=4．
∴抛物线的准线方程为：x=-2．
故答案为：x=-2．

点评 本题考查了抛物线的性质，根与系数的关系，中点坐标公式，属于基础题．