Question

【题目】已知椭圆，过的直线与椭圆相交于两点，且与轴相交于点.

（1）若，求直线的方程；

（2）设关于轴的对称点为，证明：直线过轴上的定点.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）见解析

【解析】

（1）由已知条件利用点斜式设出直线的方程，则可表示出点的坐标，再由的关系表示出点的坐标，而点在椭圆上，将其坐标代入椭圆方程中可求出直线的斜率；

（2）设出两点的坐标，则点的坐标可以表示出，然后直线的方程与椭圆方程联立成方程，消元后得到关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系，再结合直线的方程，化简可得结果.

（1）由条件可知直线的斜率存在，则

可设直线的方程为，则，

由，有，

所以，

由在椭圆上，则，解得，此时在椭圆内部，所以满足直线与椭圆相交，

故所求直线方程为或.

（也可联立直线与椭圆方程，由验证）

（2）设，则，

直线的方程为.

由得，

由，

解得，

，

当时，，

故直线恒过定点.