Question

【题目】已知分别是椭圆的左焦点和右焦点，椭圆的离心率为是椭圆上两点，点满足.

(1)求的方程；

(2)若点在圆上，点为坐标原点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据焦点坐标和离心率，结合椭圆中的关系，即可求得的值，进而得椭圆的标准方程.

（2）设出直线的方程为，由题意可知为中点.联立直线与椭圆方程，由韦达定理表示出，由判别式可得；由平面向量的线性运算及数量积定义，化简可得，代入弦长公式化简；由中点坐标公式可得点的坐标，代入圆的方程，化简可得，代入数量积公式并化简，由换元法令，代入可得，再令及，结合函数单调性即可确定的取值范围，即确定的取值范围，因而可得的取值范围.

（1）分别是椭圆的左焦点和右焦点，

则，椭圆的离心率为

则解得，

所以，

所以的方程为.

（2）设直线的方程为，点满足，则为中点，点在圆上，设，

联立直线与椭圆方程，化简可得，

所以

则，化简可得，

而

由弦长公式代入可得

为中点，则

点在圆上，代入化简可得，

所以

令，则，，

令，则

令，则，

所以，

因为在内单调递增，所以，

即

所以