Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足（1-q）S_n+qa_n=1，且q（q-1）≠0．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若S₃，S₉，S₆成等差数列，求证：a₂，a₈，a₅成等差数列．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）求出a₁=1．利用当n≥2时，由S_n-S_n-1=a_n，利用q（q-1）≠0，说明{a_n}是以1为首项，q为公比的等比数列，求出通项公式．
（Ⅱ）求出S_n=

1-anq

1-q

，灵活S₃+S₆=2S₉，得到a₂+a₅=2a₈．说明a₂，a₈，a₅成等差数列．

解答： 解：（Ⅰ）当n=1时，由（1-q）S₁+qa₁=1，a₁=1．
当n≥2时，由（1-q）S_n+qa_n=1，得（1-q）S_n-1+qa_n-1=1，两式相减得a_n=qa_n-1，
又q（q-1）≠0，所以{a_n}是以1为首项，q为公比的等比数列，
故a_n=q^n-1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知S_n=

1-anq

1-q

，又S₃+S₆=2S₉，得

1-a3q

1-q

+

1-a6q

1-q

=

2(1-a9q)

1-q

，
化简得a₃+a₆=2a₉，两边同除以q得a₂+a₅=2a₈．
故a₂，a₈，a₅成等差数列．

点评：本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列求和以及通项公式的求法，考查分析问题解决问题的能力．