Question

已知函数f（x）=a|x+1|-b|2x-4|（a，b∈R）
（Ⅰ）当a=1，b=

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时，解不等式f（x）≤0
（Ⅱ）当b=1时，若函数f（x）既存在最小值，也存在最大值．求所有满足条件的实数a的集合．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,绝对值不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）通过a=1，b=

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，转化不等式f（x）≤0为二次不等式，求解即可．
（Ⅱ）求出函数的表达式，利用函数有最值，列出方程求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=|x+1|-|x-2|，
由f（x）≤0得|x+1|≤|x-2|?x²+2x+1≤x²-4x+4?x≤

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，
所以所求不等式的解集为(-∞，

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]．…（4分）
（Ⅱ）当b=1时，f(x)=

(a-2)x+a+4，x≥2 (a+2)x+a-4，-1＜x＜2 (2-a)x-a-4，x≤-1

因为f（x）既存在最大值，也存在最小值，
所以a-2=0，所以a=2
所以a的取值集合为{2}．…（7分）

点评：本题考查不等式的解法，函数恒成立条件的应用，考查转化思想以及计算能力．