Question

14．平面内直线l交双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，则
①|AC|=|BD|；②|OA|•|OB|=|OC|•|OD|；③$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$；④$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$
其中正确结论的序号有①③．

Answer 1

分析 不适一般性，取直线y=b，与y轴交于E，再进行验证，即可得出结论．

解答 解：不适一般性，取直线y=b，与y轴交于E，则根据双曲线的对称性，|AC|=|BD|，正确；
②|OA|•|OB|=|OC|•|OD|，显然不成立；
③$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$=2$\overrightarrow{OE}$，正确；
④$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=${\overrightarrow{OA}}^{2}cos∠AOB$，$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=${\overrightarrow{OC}}^{2}cos∠COD$，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$≠$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$，不正确．
故答案为：①③．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．