Question

16．在正项等比数列{a_n}中，a₄+a₃-a₂-a₁=1，则a₅+a₆的最小值是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 设 a₂+a₁=x，等比数列的公比为q，由条件求得 x=$\frac{1}{{q}^{2}-1}$＞0，q＞1，再由a₅+a₆ =xq⁴ =$\frac{{q}^{4}}{{q}^{2}-1}$=q²+1+$\frac{1}{{q}^{2}-1}$）=q²-1+$\frac{1}{{q}^{2}-1}$+2，利用基本不等式求出a₅+a₆的最小值．

解答 解：在正项等比数列{a_n}中，设 a₂+a₁=x，等比数列的公比为q，
则a₄+a₃ =xq²，a₅+a₆ =xq⁴．
再由a₄+a₃-a₂-a₁=1，可得xq²=1+x，∴x=$\frac{1}{{q}^{2}-1}$＞0，q＞1．
∴a₅+a₆ =xq⁴ =$\frac{{q}^{4}}{{q}^{2}-1}$=q²+1+$\frac{1}{{q}^{2}-1}$）=q²-1+$\frac{1}{{q}^{2}-1}$+2≥2+2=4，
当且仅当q²-1=1时，等号成立，故a₅+a₆的最小值为4，
故选C．

点评 本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式以及基本不等式的应用，属于中档题．