Question

设函数，其中，为正整数，，，均为常数，曲线在处的切线方程为.
（1）求，，的值；     
（2）求函数的最大值；
（3）证明：对任意的都有.（为自然对数的底）

Answer 1

（1）;（2）;（3）见解析.

试题分析：（1）在切点处的的函数值 ，就是切线的斜率为，可得；根据切点适合切线方程、曲线方程，可得，.
（2）求导数，求驻点，讨论区间函数单调性，确定最值.
（3）本小题有多种思路，一是要证对任意的都有只需证；
二是令，利用导数确定，
转化得到．
令，证明．
（1）因为，                     1分
所以 ，又因为切线的斜率为，所以       2分
，由点（1,c）在直线上，可得，即        3分
                               4分
（2）由（1）知，，所以
令，解得，即在（0，+上有唯一零点       5分
当0<<时，，故在（0，）上单调递增；          6分
当>时，，故在（，+上单调递减；           7分
在（0，+上的最大值===     8分
（3）证法1：要证对任意的都有只需证
由（2）知在上有最大值，= ，故只需证   9分
，即 ①                      11分
令，则，①即 ②               13分
令，则
显然当0<t<1时，，所以在（0，1）上单调递增，
所以，即对任意的 ②恒成立，
所以对任意的都有    14分
证法2：令，则．           10分
当时，，故在上单调递减；
而当时，，故在上单调递增．
在上有最小值，．
，即.                        12分
令，得，即，所以，即.
由（2）知，，故所证不等式成立．                14分