Question

已知函数f（x）=cos²（x+

π

12

），g（x）=1+

1

2

sin2x．
（1）设x₀是函数y=f（x）的一个零点，求g（x₀）的值；
（2）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数零点的判定定理,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用倍角公式可得函数f（x）=

1+cos(2x+ π 6 )

2

，由于x₀是函数y=f（x）的一个零点，可得f（x₀）=0，化为cos(2x0+

π

6

)=-1，即可得出2x₀．进而得出g（x₀）．
（2）利用倍角公式、两角和差的正弦公式及正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）函数f（x）=cos²（x+

π

12

）=

1+cos(2x+ π 6 )

2

，
∵x₀是函数y=f（x）的一个零点，∴f（x₀）=

1

2

+

1

2

cos(2x0+

π

6

)=0，
化为cos(2x0+

π

6

)=-1，
∴2x0+

π

6

=2kπ+π，解得2x0=2kπ+

5π

6

（k∈Z）．
∴g(x0)=1+

1

2

sin2x0=1+

1

2

sin(2kπ+

5π

6

)=1+

1

2

×

1

2

=

5

4

．
（2）函数h（x）=f（x）+g（x）=cos²（x+

π

12

）+1+

1

2

sin2x
=

1+cos(2x+ π 6 )

2

+1+

1

2

sin2x
=

3

2

+

1

2

(cos2xcos

π

6

-sin2xsin

π

6

)+

1

2

sin2x
=

3

4

cos2x+

1

4

sin2x+

3

2

=

1

2

sin(2x+

π

3

)+

3

2

．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，解得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z）．
∴函数h（x）的单调递增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）．

点评：本题考查了倍角公式、两角和差的正弦公式及正弦函数的单调性、函数的零点等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．