Question

12．若直线ax-y-a+3=0将关于x，y的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+5≥0}\\{x+y-1≥0}\\{x-y+1≤0}\end{array}\right.$表示的平面区域分成面积相等的两部分，则z=4x-ay的最大值是4．

Answer 1

分析 根据条件求出直线恒过定点C（1，3），根据面积相等得到直线过AB的中点，求出a的值，结合直线斜率的几何意义进行求解即可．

解答 解：由直线ax-y-a+3=0得a（x-1）+（3-y）=0，
即直线恒过C（1，3），x，y的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+5≥0}\\{x+y-1≥0}\\{x-y+1≤0}\end{array}\right.$表示的平面区域如图：由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+5=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$解得B（3，4），$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{x-2y+5=0}\end{array}\right.$解得A（-1，2），可得C（1，3）是AB的中点，
若直线ax-y-a+3=0将区域分成面积相等的两部分，
直线只需经过顶点（0，1），（0，1）代入ax-y-a+3=0，解得a=2．
z=4x-ay=4x-2y，即y=2x-$\frac{z}{2}$，经过区域内的点B时，目标函数取得最大值．
此时最大值为：4×3-2×4=4．
故答案为：4．

点评 本题主要考查线性规划的应用，直线恒过定点以及三角形面积相等的应用，直线斜率的计算，综合性较强，利用数形结合是解决本题的关键．