Question

17．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（-∞，0]上单调递增，若满足f（2${\;}^{lo{g}_{3}a}$）＞f（-$\sqrt{2}$），则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\sqrt{3}$）
• B． （0，$\sqrt{3}$）
• C． （$\sqrt{3}$，+∞）
• D． （1，$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得f（x）在区间[0，+∞）上递减，则f（2${\;}^{lo{g}_{3}a}$）＞f（-$\sqrt{2}$）可以转化为2${\;}^{lo{g}_{3}a}$＜$\sqrt{2}$，变形可得log₃a＜$\frac{1}{2}$，解可得a的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（-∞，0]上单调递增，
则其在区间[0，+∞）上递减，
f（2${\;}^{lo{g}_{3}a}$）＞f（-$\sqrt{2}$）?f（2${\;}^{lo{g}_{3}a}$）＞f（$\sqrt{2}$）?2${\;}^{lo{g}_{3}a}$＜$\sqrt{2}$，
即log₃a＜$\frac{1}{2}$，
解可得0＜a＜$\sqrt{3}$；
故选：B．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，结合函数奇偶性和单调性之间的关系以及对数的运算性质是解决本题的关键．