Question

10．将函数f（x）=$\sqrt{2}$sin2x-$\sqrt{2}$cos2x+1的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，则下列关予函数y=g（x）的说法错误的是（　　）

• A． 函数y=g（x）的最小正周期为π
• B． 函数y=g（x）的图象的一条对称轴为直线x=$\frac{π}{8}$
• C． ${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$g（x）dx=$\sqrt{2}$
• D． 函数y=g（x）在区间[$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{8}$]上单调递减

Answer 1

分析 利用两角差的正弦函数公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得g（x），利用正弦函数的图象和性质逐一分析各个选项即可得解．

解答 解：把f（x）=$\sqrt{2}$sin2x-$\sqrt{2}$cos2x+1=2sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，
得到函数y=2sin[2（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]+1=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1的图象，
再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）的图象，
对于A，由于T=$\frac{2π}{2}=π$，故正确；
对于B，由2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z，可得：当k=0时，y=g（x）的图象的一条对称轴为直线x=$\frac{π}{8}$，故正确；
对于C，${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$g（x）dx=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$2sin（2x+$\frac{π}{4}$）dx=-cos（2x+$\frac{π}{4}$）|${\;}_{0}^{\frac{π}{2}}$=-（cos$\frac{5π}{4}$-cos$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，故正确；
对于D，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，k∈Z，可得函数y=g（x）在区间[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]上单调递减，故错误．
故选：D．

点评 本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，函数y=Asin（ωx+φ）的图象的对称性，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．