Question

5．曲线y=e^x和曲线y=lnx分别与直线x=x₀交于点A，B，且曲线y=e^x在点A处的切线与曲线y=lnx在点B处的切线平行，则x₀在下列哪个区间内（　　）

• A． （0，1）
• B． （1，2）
• C． （2，3）
• D． （3，4）

Answer 1

分析 分别求得y=e^x和y=lnx的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件可得斜率相等，再设f（x）=xe^x-1，运用零点存在定理，即可判断所求区间．

解答 解：y=e^x的导数为y′=e^x，
y=e^x在点A处的切线斜率为k₁=e^x₀，
y=lnx的导数为y′=$\frac{1}{x}$，
曲线y=lnx在点B处的切线斜率为k₂=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
曲线y=e^x在点A处的切线与曲线y=lnx在点B处的切线平行，
可得k₁=k₂，即有x₀e^x₀=1，
可令f（x）=xe^x-1，（x＞0），f′（x）=（x+1）e^x＞0，
f（x）在x＞0递增，
又f（0）=-1＜0，f（1）=e-1＞0，由函数的零点存在定理可得
f（x）在（0，1）有且只有一个零点．
故选A．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，同时考查函数的零点存在定理的运用，属于中档题．