Question

（本小题满分12分）
已知矩形与正三角形所在的平面互相垂直， 、分别为棱、的中点，,，
(1)证明：直线平面；
(2)求二面角的大小．

Answer 1

（1）见解析；（2）.

(1)取EC的中点F，连接FM，FN，则可以证明四边形AMFN为平行四边形，从而证明AM//NF，问题得证.
（2）可以采用传统方法找（或作）出二面角的平面角，也可以考虑用空间向量法求二面角.
方法一：（1）证明：取EC的中点F，连接FM，FN，
则，，， ………………………2分
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，                           …………………………………4分
因为平面，平面，
所以直线平面；                  …………………………………6分
（2）解：由题设知面面，，
又，∴面，作于，则，作，连接，由三垂线定理可知，
∴就是二面角的平面角，  …………………………………9分
在正中，可得，在中，可得，故在中，，               ………………………………11分
所以二面角的大小为    …………………………12分

方法二：如图以N为坐标原点建立空间右手
直角坐标系,所以 
 …1分
（1）取EC的中点F，所以，                   
设平面的一个法向量为，
因为，
所以，；，………3分
因为，，所以  ………………………5分
因为平面，所以直线平面    ………………………7分
（2）设平面的一个法向量为，因为，
所以，；所以……………9分
         ………………………………11分
因为二面角的大小为锐角,
所以二面角的大小为     ………………………………12分