Question

在四棱锥中，底面是矩形，已知，，，，。
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的正切值的大小。（12分）

Answer 1

（1）见解析；（2）.

第一问中，利用线面垂直的判定定理求证。在中，由题设PA=2，AD=2，
PD=，可得，于是
在矩形ABCD中，，又
，从而得到结论。
第二问中，过点P作于H，过点H作于E，
连接PE，又因为平面PAB，平面PAB，所以，
又，因而平面ABCD，
故HE为PE在平面ABCD内的射影，，从而得到二面角的平面角是二面角P-BD-A的平面角，然后借助于三角形求解得到。
解：（I）在中，由题设PA=2，AD=2，
PD=，可得，
于是，……….2分，
在矩形ABCD中，，又….4分，
所以平面PAB。……….6分，
（II）如图所示，过点P作于H，过点H作于E，
连接PE，……….7分，
因为平面PAB，平面PAB，所以，
又，因而平面ABCD，
故HE为PE在平面ABCD内的射影，，……….8分，
从而是二面角P-BD-A的平面角。……….9分，
由题设可得，，
，……….10分，
由～得
，于是在中，
，….11分，
所以二面角P—BD—A 的正切值的大小为。………….12分