Question

4．已知点F（c，0）（c＞0）是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦点，F关于直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x的对称点A 也在椭圆上，则该椭圆的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{3}$+2
• B． $\sqrt{3}$-1
• C． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• D． -$\sqrt{3}$+2

Answer 1

分析 求出F（c，0）关于直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x的对称点A的坐标，代入椭圆方程可得离心率．

解答 解：设F（c，0）关于直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x的对称点A（x₁，y₁），
则$\frac{{y}_{1}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{{x}_{1}+c}{2}$①，且$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-c}=-\sqrt{3}$②．
联立①②解得：$x=\frac{c}{2}，y=\frac{\sqrt{3}}{2}c$，即A（$\frac{c}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}c$），
代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1得：$\frac{（\frac{c}{2}）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{\sqrt{3}}{2}c）^{2}}{{b}^{2}}=1$．
化简可得e⁴-8e²+4=0，
解得：e=$\sqrt{3}$-1．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力，是中档题．