Question

【题目】设函数，.

（1）求函数的极值；

（2）对任意，都有，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时， 无极值；当时， 极小值为；（2）.

【解析】

（1）求导，对参数进行分类讨论，即可容易求得函数的极值；

（2）构造函数，两次求导，根据函数单调性，由恒成立问题求参数范围即可.

（1）依题，

当时，，函数在上单调递增，此时函数无极值；

当时，令，得，

令，得

所以函数在上单调递增，

在上单调递减.

此时函数有极小值，

且极小值为.

综上：当时，函数无极值；

当时，函数有极小值，

极小值为.

（2）令

易得且，

令

所以，

因为，，从而，

所以，在上单调递增.

又

若，则

所以在上单调递增，从而，

所以时满足题意.

若，

所以，，

在中，令，由（1）的单调性可知，

有最小值，从而.

所以

所以，由零点存在性定理：

，使且

在上单调递减，在上单调递增.

所以当时，.

故当，不成立.

综上所述：的取值范围为.