Question

已知函数f（x）=x²（x-a）在区间（0，

2

3

）内是减函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（0，+∞）
• B、[0，+∞）
• C、[1，+∞）
• D、（1，+∞）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：先求出函数的导数，将问题转化为a≥

3x

2

在（0，

2

3

）上恒成立，从而求出a的范围．

解答： 解：∵f（x）=x³-ax²，
∴f′（x）=3x²-2ax，
∵函数f（x）在区间（0，

2

3

）内是减函数
∴f′（x）≤0在（0，

2

3

）上恒成立
即a≥

3x

2

在（0，

2

3

）上恒成立．
∴

3x

2

＜

3

2

×

2

3

=1，
∴a≥1，
故实数a的取值范围为[1，+∞），
故选：C．

点评：不同考查了函数的单调性，导数的应用，考查转化思想，是一道基础题．