Question

19．已知$\overrightarrow{a}$=（2cosx，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow{b}$=（3cosx，2cosx），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-3．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）记△ABC的三内角分别为A、B、C，相应三边为a、b、c，若b²=c²+a²-ac且f（A）=$\sqrt{3}$，求f（C）．

Answer 1

分析 （1）化简函数解析式可得f（x）=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），由周期公式即可得解．
（2）由已知及余弦定理可得cosB=$\frac{1}{2}$，结合B的范围即可解得B的值，由f（A）=2$\sqrt{3}$sin（2A+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，结合A的范围可求A的值，从而由三角形内角和定理可求C的值，即可得解．

解答 （本题满分12分）
解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-3．
=6cos²x+2$\sqrt{3}$cosxsinx-3
=3（1+cos2x）+$\sqrt{3}$sin2x-3
=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）…（5分）
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$…（6分）
（2）由b²=c²+a²-ac，可得cosB=$\frac{1}{2}$，
又B∈（0，π），可解得B=$\frac{π}{3}$…（8分）
∵f（A）=2$\sqrt{3}$sin（2A+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
∴sin（2A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0$＜A＜\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}＜2A+\frac{π}{3}＜\frac{5π}{3}$，
∴2A+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{3}$，A=$\frac{π}{4}$…（10分）
∴C=π-（A+B）=$\frac{5π}{12}$，
∴f（C）=2$\sqrt{3}$sin（2×$\frac{5π}{12}$+$\frac{π}{3}$）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{7π}{6}$）=-$\sqrt{3}$…（12分）

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，余弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．