Question

已知函数f（x）=sin（2ωx+

π

6

）（ω＞0）直线x=x₁，x=x₂是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为

π

2

．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若f（α）=

1

3

，α∈[-

π

3

，

π

6

]，求f（α+

π

6

）的值；
（3）若关于x的方程f（x+

π

6

）+mcosx+3=0在x∈（0，

π

2

）有实数解，求实数m的取值．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意可得函数的最小正周期T=2×

π

2

=

2π

2ω

，解得ω=1，可得f（x）=sin（2x+

π

6

）．令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．
（2）由f（α）=sin（2α+

π

6

）=

1

3

，2α+

π

6

∈[-

π

2

，

π

2

]，求得cos（2α+

π

6

）的值，再由f（α+

π

6

）=sin（2α+

π

2

）=cos2α=cos[（2α+

π

6

）-

π

6

]，利用两角差的余弦公式计算求得结果．
（3）由题意可得即2cos²x+mcosx+2=0，在x∈（0，

π

2

）有实数解．令cosx=t∈（0，1），则2t²+mt+2=0在（0，1）上有解．令g（t）=2t²+mt+2，利用二次函数的性质求得m的范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=sin（2ωx+

π

6

）（ω＞0），直线x=x₁、x=x₂是y=f（x）图象的两条对称轴，
且|x₁-x₂|的最小值为

π

2

，
∴函数的最小正周期T=2×

π

2

=

2π

2ω

，解之得ω=1，故f（x）=sin（2x+

π

6

）．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
故函数的增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（2）∵f（α）=sin（2α+

π

6

）=

1

3

，α∈[-

π

3

，

π

6

]，∴2α+

π

6

∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴cos（2α+

π

6

）=

2 2

3

，
求得 f（α+

π

6

）=sin（2α+

π

2

）=cos2α=cos[（2α+

π

6

）-

π

6

]=cos（2α+

π

6

）cos

π

6

+sin（2α+

π

6

）sin

π

6

=

2 3

3

×

3

2

+

1

2

×

1

3

=

2 6 +1

6

．
（3）关于x的方程f（x+

π

6

）+mcosx+3=0，即 cos2x+mcosx+3=0，
即2cos²x+mcosx+2=0，在x∈（0，

π

2

）有实数解．
令cosx=t∈（0，1），则2t²+mt+2=0在（0，1）上有解．
令g（t）=2t²+mt+2，∵△=m²-16≥0，∴m≥4，或m≤-4．
由于对称轴为t=-

m

4

≥1，或 t=-

m

4

≤-1，
∵g（0）=2＞0，∴由图象可得 g（1）=m+4＜0，解得m＜-4．

点评：本题主要考查正弦函数的图象和性质，三角恒等变换，二次函数的性质应用，属于中档题．