Question

已知向量

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

）．记f（x）=

m

•

n

（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）求当x∈（0，π）时，函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由向量

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

）．f（x）=

m

•

n

根据平面向量的数量积公式，结合降幂公式（二倍角公式逆用）及辅助角公式，将函数的解析式化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的性质，即可求出函数的周期，求出函数f（x）的单调递增区间；
（2）由（1）中函数的解析式，结合x的范围，求出相位的范围，直接求解函数的最值．

解答：解：（1）f（x）=

m

•

n

=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos^₂

x

4

   
=

3

2

sin

x

2

+

1

2

+

1

2

cos

x

2

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

．
最小正周期为T=

2π

1 2

=4π．
 由2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

，（k∈Z）．  
∴4kπ-

4π

3

≤x≤4kπ+

2π

3

，
函数递增区间为[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

]（k∈Z）．
（2）x∈（0，π），∴

x

2

+

π

6

∈（

π

6

，

2π

3

），
∴

1

2

＜sin（

x

2

+

π

6

）≤1，
∴f_max∈（1，

3

2

]．

点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，正弦型函数的图象和性质，根据平面向量的数量积公式和辅助角公式，求出函数的解析式是解答本题的关键．