Question

已知向量

m

=（cos

x

4

，1），

n

=（

3

sin

x

4

，cos²

x

4

）．
（1）若

m

•

n

=1，求cos（

2π

3

-x）的值；
（2）记f（x）=

m

•

n

，在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则计算列出关系式，再利用二倍角的余弦函数公式求出cos（x+

π

3

）的值，利用由公式化简所求式子后，将cos（x+

π

3

）的值代入即可求出值；
（2）利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cosB的值，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，进而确定出A的度数，求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的值域．

解答：解：（1）∵

m

=（cos

x

4

，1），

n

=（

3

sin

x

4

，cos²

x

4

），
∴

m

•

n

=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos²

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

=1，
∴sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，
∴cos（x+

π

3

）=1-2sin²（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，
则cos（

2π

3

-x）=-cos（x+

π

3

）=-

1

2

；
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C），
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，即B=

π

3

，
∴0＜A＜

2π

3

，
∴

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，即

1

2

＜sin（

A

2

+

π

6

）＜1，
又∵f（x）=

m

•

n

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

，
∴f（A）=sin（

A

2

+

π

6

）+

1

2

，
故函数f（A）的取值范围是（1，

3

2

）．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦定理，二倍角的余弦函数公式，诱导公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握公式是解本题的关键．