Question

已知向量

m

=(2，-

3

cosx)，

n

=(cos2x，2sinx)，函数f(x)=

m

•

n

-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数f(x)在区间[-

π

3

，

π

6

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积，二倍角公式两角差的余弦函数化简函数的表达式，然后求函数f（x）的最小正周期，结合余弦函数的单调增区间求函数的单调递增区间；
（2）确定函数f(x)在区间[-

π

3

，

π

6

]上的单调增区间，单调减区间，然后求出函数的最大值最小值，即可确定函数的值域．

解答：解：（1）

m

=(2，-

3

cosx)，

n

=(cos2x，2sinx)，∴函数f(x)=

m

•

n

-1
=(2，-

3

cosx)•(cos2x，2sinx)=2cos²x-2

3

sinxcosx-1
=cos2x-

3

sin2x=2cos（2x+

π

3

）
∴函数f（x）的最小正周期T=π．
由2kπ-π≤2x+

π

3

≤2kπ  k∈Z．即kπ-

2π

3

≤x≤kπ-

π

6

   k∈Z
函数单调增函数，所以函数f（x）的单调增区间[kπ-

2π

3

，kπ-

π

6

]k∈Z
 （2）因为函数f(x)在区间[-

2π

3

，-

π

6

]单调递增，f(x)在区间[-

π

6

，

π

3

]上单调递减；又∵f(-

π

3

) =1， f(

π

6

) =-1
所以函数f（x）在[-

2π

3

，-

π

6

]上：f(x)max= f(-

π

6

) =2，
f(x)min= f(

π

6

) =-1
∴函数f(x)在区间[-

π

3

，

π

6

]上的值域[-1，2]．

点评：本题是基础题，考查向量数量积的应用，三角函数的化简求值，单调区间的求法，最值的求法，考查计算能力，注意函数值域的确定中，区间的讨论，单调性的应用是解题的易错点．