Question

函数f（x）满足：f（3x+y）=3f（x）+f（y）对任意的x，y∈R均成立，且当x＞0时，f（x）＜0．
（I）求证：f（4x）=4f（x），f（3x）=3f（x）；
（II）判断函数f（x）在（-∞，+∞）上的单调性并证明；
（III）若f（8）=-2，解不等式：f(log2

x-2

x2

)+12f(log24

x

)＜-

1

2

．

Answer 1

分析：（I）使用赋值法，先令y=x，得f（4x）=4f（x），再令x=y=0，得f（0）=0，最后令y=0，得f（3x）=3f（x）
（II）利用函数单调性的定义以及已知抽象表达式，x＞0时，f（x）＜0．即可证明f（x）在（-∞，+∞）上是减函数
（III）先利用抽象表达式得f（2）=-

1

2

，再利用对数运算性质及函数的单调性，将不等式转化为对数不等式组，解之即可

解答：解：（I）证明：令y=x，则f（4x）=4f（x）
令x=y=0，则f（0）=0
令y=0，则f（3x）=3f（x）
（II）解：f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，以下证明：
任设x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＞x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=f（

x1-x2

3

×3+x₂）-f（x₂）=3f（

x1-x2

3

）
∵x₁-x₂＞0
∴f（

x1-x2

3

）＜0
即f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是减函数
（III）解：∵f（8）=-2
∴4f（2）=2，∴f（2）=-

1

2

12f（log₂

4	x

）=3f（4log₂

4	x

）=3f（log₂x）
∴f(log2

x-2

x2

)+12f(log24

x

)=f(log2

x-2

x2

)+3f(log2x )
=f(log2

x-2

x2

+3log2x  )=f（log₂[x（x-2）]）
∴f(log2

x-2

x2

)+12f(log24

x

)＜-

1

2

?f（log₂[x（x-2）]）＜f（2）
?

x＞0 log2[x(x-2)]＞ x-2＞0

2?

x＞2 x(x-2)＞4

?x＞1+

5

∴不等式的解集为x＞1+

5

点评：本题综合考查了抽象表达式的意义和作用，函数单调性的定义及证明，利用函数的单调性解不等式的技巧