Question

8．已知双曲线的中心在原点．焦点F₁、F₂在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x．且过点N（2$\sqrt{5}$，4）．
（1）求双曲线的方程；
（2）若点N在此双曲线上，且∠F₁NF₂=60°，求△F₁NF₂的面积．

Answer 1

分析 （1）设双曲线的方程为y²-x²=λ（λ≠0），代入点N（2$\sqrt{5}$，4），求出λ，可得双曲线的方程；
（2）设出|NF₁|=m，|NF₂|=n，利用双曲线的定义以及余弦定理列出关系式，求出mn的值，然后求解三角形的面积．

解答 解：（1）设双曲线的方程为y²-x²=λ（λ≠0），
代入点N（2$\sqrt{5}$，4），可得16-20=λ，
∴λ=-4，
∴双曲线的方程为y²-x²=-4，即$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）设|NF₁|=m，|NF₂|=n，
则$\left\{\begin{array}{l}{|m-n|=4①}\\{{m}^{2}+{n}^{2}-2mncos60°=32②}\end{array}\right.$，
由②-①²得mn=16
∴△F₁MF₂的面积S=$\frac{1}{2}$mnsin60°=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的方程与简单性质，双曲线的定义以及余弦定理的应用，考查计算能力．