Question

设直线l过点P（0，3），和椭圆

x2

9

+

y2

4

=1顺次交于A、B两点，则

AP

PB

的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：如图所示，由椭圆

x2

9

+

y2

4

=1可得b²=4，解得b=2．当PA（PB）与椭圆相切时，

|AP|

|PB|

=1．当点A，B为椭圆的短轴的端点时，

|AP|

|PB|

=

3-2

3+2

=

1

5

．由于AP与PB的方向相反，即可得出．

解答：解：如图所示，
由椭圆

x2

9

+

y2

4

=1可得a²=9，b²=4，解得b=2．
当PA（PB）与椭圆相切时，

|AP|

|PB|

=1．
当点A，B为椭圆的短轴的端点时，

|AP|

|PB|

=

3-2

3+2

=

1

5

．
由于AP与PB的方向相反，
∴-1≤

AP

PB

≤-

1

5

．
故答案为：[-1，-

1

5

]．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、有向线段的比值，属于基础题．