题目内容

设直线l过点P（0，3），和椭圆 $数学公式$ 交于A、B两点（A在B上方），试求 $数学公式$ 的取值范围________．

$\text{[math]}$
分析：当直线l的斜率不存在时，A点坐标为（0，2），B点坐标为（0，-2），这时 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．当直线l斜率为k时，直线l方程为y=kx+3，设A点坐标为（x₁，y₁），B点坐标为（x₂，y₂），则向量AP=（-x₁，3-y₁），向量PB=（x₂，y₂-3），所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，因为直线y=kx+3与椭圆有两个交点，且它们的横坐标不同，把y=kx+3代入 $\text{[math]}$ 后的一元二次方程（9k²+4）x²+54k+45=0的判别式（54k）²-4（9k²+4）×45＞0，所以k＞ $\text{[math]}$ 3或k＜- $\text{[math]}$ ．由此入手能够求出 $\text{[math]}$ 的范围．
解答：当直线l的斜率不存在时，A点坐标为（0，2），B点坐标为（0，-2），这时 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
当直线l斜率为k时，直线l方程为y=kx+3，
设A点坐标为（x₁，y₁），B点坐标为（x₂，y₂），则向量AP=（-x₁，3-y₁），向量PB=（x₂，y₂-3），
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
因为直线y=kx+3与椭圆有两个交点，且它们的横坐标不同，
把y=kx+3代入 $\text{[math]}$ 后的一元二次方程（9k²+4）x²+54k+45=0的判别式（54k）²-4（9k²+4）×45＞0，
所以k＞ $\text{[math]}$ 3或k＜- $\text{[math]}$ ，
设 $\text{[math]}$ =λ，则x₁=λx₂，
因为x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$ ，
所以（1+λ）x₂═- $\text{[math]}$ ，，（1）
λx₂²= $\text{[math]}$ ，（2）
显然λ不等于1，解得0＜λ＜1．
综上所述 $\text{[math]}$ 的范围是[ $\text{[math]}$ ）．
故答案为：[ $\text{[math]}$ ）．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．