Question

设焦点在x轴上的椭圆M的方程为

x2

4

+

y2

b2

=1（b＞0），其离心率为

2

2

．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若直线l过点P（0，4），则直线l何时与椭圆M相交？

Answer 1

分析：（1）利用焦点在x轴上的椭圆M的方程为

x2

4

+

y2

b2

=1（b＞0），其离心率为

2

2

，求出几何量，即可得到椭圆的方程；
（2）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用判别式非负，即可得到结论．

解答：解：（1）∵焦点在x轴上的椭圆M的方程为

x2

4

+

y2

b2

=1（b＞0），其离心率为

2

2

，
∴

4-b2

4

=

1

2

∴b²=2
∴椭圆M的方程为

x2

4

+

y2

2

=1；
（2）直线l过点P（0，4），故斜率存在时，设方程为y=kx+4
代入椭圆方程可得（1+2k²）x²+16kx+28=0
∴△=256k²-112（1+2k²）≥0
∴k≥

14

2

或k≤-

14

2

时，直线l与椭圆M相交
斜率不存在时，直线l与椭圆M相交．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．