Question

设直线l过点P（0，3），和椭圆

x2

9

+

y2

4

=1交于A、B两点（A在B上方），试求

|AP|

|PB|

的取值范围

[

1

5

，1)

．

Answer 1

分析：当直线l的斜率不存在时，A点坐标为（0，2），B点坐标为（0，-2），这时

|AP|

|PB|

=

1

5

．当直线l斜率为k时，直线l方程为y=kx+3，设A点坐标为（x₁，y₁），B点坐标为（x₂，y₂），则向量AP=（-x₁，3-y₁），向量PB=（x₂，y₂-3），所以

|AP|

|PB|

=

x1

x2

，因为直线y=kx+3与椭圆有两个交点，且它们的横坐标不同，把y=kx+3代入

x2

9

+

y2

4

=1后的一元二次方程（9k²+4）x²+54k+45=0的判别式（54k）²-4（9k²+4）×45＞0，所以k＞

5

3

3或k＜-

5

3

．由此入手能够求出

|AP|

|PB|

的范围．

解答：解：当直线l的斜率不存在时，A点坐标为（0，2），B点坐标为（0，-2），这时

|AP|

|PB|

=

1

5

．
当直线l斜率为k时，直线l方程为y=kx+3，
设A点坐标为（x₁，y₁），B点坐标为（x₂，y₂），则向量AP=（-x₁，3-y₁），向量PB=（x₂，y₂-3），
所以

|AP|

|PB|

=

x1

x2

，
因为直线y=kx+3与椭圆有两个交点，且它们的横坐标不同，
把y=kx+3代入

x2

9

+

y2

4

=1后的一元二次方程（9k²+4）x²+54k+45=0的判别式（54k）²-4（9k²+4）×45＞0，
所以k＞

5

3

3或k＜-

5

3

，
设

x1

x2

=λ，则x₁=λx₂，
因为x₁+x₂=-

54k

9k2+4

，x₁x₂=

45

9k2+4

，
所以（1+λ）x₂═-

54k

9k2+4

，，（1）
λx₂²=

45

9k2+4

，（2）
显然λ不等于1，解得0＜λ＜1．
综上所述

|AP|

|PB|

的范围是[

1

5

，1）．
故答案为：[

1

5

，1）．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．