Question

如图，弧为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变 

(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=λ，求λ的取值范围 

Answer 1

解  (1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系， ∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4 

∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆 

设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1 

∴曲线C的方程为+y²=1 

(2)设直线l的方程为y=kx+2，代入+y²=1,得(1+5k²)x²+20kx+15=0 

Δ=(20k)²－4×15(1+5k²)＞0,得k²＞  由图可知=λ

由韦达定理得

将x₁=λx₂代入得

，两式相除得

       ①

M在D、N中间，∴λ＜1                ②

又∵当k不存在时，显然λ= (此时直线l与y轴重合)