题目内容

（2013•深圳一模）如图甲，⊙O的直径AB=2，圆上两点C、D 在直径AB 的两侧，使∠CAB=
π
4
，∠DAB=
π
3
．沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F 为BC的中点，E 为AO 的中点．根据图乙解答下列各题：
（1）求三棱锥C-BOD 的体积；
（2）求证：CB⊥DE；
（3）在BD弧上是否存在一点 G，使得FG∥平面 ACD？若存在，试确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．
分析：（1）利用圆的性质可得CO⊥AB，利用面面垂直的性质可得CO⊥平面BOD．在计算出S△BOD=
1
2
S△AOB，利用三棱锥的体积即可得出；
（2）利用等边三角形的性质可得DE⊥AO，再利用面面垂直的性质定理即可得到DE⊥平面ABC，进而得出结论．
（3）存在，G为
BD
的中点．连接OG，OF，FG，通过证明平面OFG∥平面ACD，即可得到结论．
解答：（1）解：∵C为圆周上一点，且AB为直径，∴∠C=90°，
∵∠CAB=
π
4
，∴AC=BC，
∵O为AB中点，∴CO⊥AB，
∵AB=2，∴CO=1．
∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，
∴CO⊥平面ABD，∴CO⊥平面BOD．
∴CO就是点C到平面BOD的距离，
在Rt△ABD中，S△BOD=
1
2
S△ABD=
1
2
×
1
2
×1×
3
=
3
4
，
∴VC-BOD=
1
3
S△BOD•CO=
1
3
×
3
4
×1=
3
12
．
（2）在△AOD中，∵∠OAD=60°，OA=OD，∴△AOD为正三角形，
又∵E为OA的中点，∴DE⊥AO，
∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，∴DE⊥平面ABC．
∴CB⊥DE．
（3）存在，G为
BD
的中点．证明如下：
连接OG，OF，FG，
∴OG⊥BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BD
∴OG∥AD，
∵OG?平面ACD，AD?平面ACD，
∴OG∥平面ACD．
在△ABC中，O，F分别为AB，BC的中点，∴OF∥AC，
又OF?平面ACD，∴OF∥平面ACD，
∵OG∩OF=O，
∴平面OFG∥平面ACD，
又FG?平面OFG，∴FG∥平面ACD．
点评：本题主要考察空间点、线、面位置关系，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力．熟练掌握圆的性质、面面垂直的性质、三棱锥的体积计算公式、等边三角形的性质、线面垂直的判定定理、三角形的中位线定理、面面平行的判定和性质定理是解题的关键．
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6
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π
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