Question

如图，弧为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。

　 （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

（Ⅱ）过点B的直线与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点，若为定值。

　　

Answer 1

20. 解：（Ⅰ）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，

 O为原点，建立平面直角坐标系，

       ∵动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．

且点Q在曲线C上,

       ∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4．       ………………………3分

       ∴曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆

       设其长半轴为a, 短半轴为b, 半焦距为c,  则2a=2, ∴a=, c=2, b=1．

            ∴曲线C的方程为+y²=1       …………………………………………6分

证明：（Ⅱ）设点的坐标分别为，

       又易知点的坐标为．且点B在椭圆C内, 故过点B的直线l必与椭圆C相交．

          ∵， ∴．

            ∴ ，．   …………………………………………8分

       将M点坐标代入到椭圆方程中得：，

       去分母整理，得． ………………………………………10分

       同理，由可得：． ………………………12分

  ∴ ，是方程的两个根， ∴ ．………14分