Question

10．已知{a_n}，{b_n}都是各项为正数的数列，对于任意n∈N^*，都有a_n，b_n²，a_n+1成等差数列，b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比数列，若a₁=1，b₁=$\sqrt{2}$，则以下正确的是（　　）

• A． {a_n}是等差数列
• B． {b_n}是等比数列
• C． $\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$n
• D． a_nb_n=$\frac{\sqrt{2}}{8}$n²（n+7）

Answer 1

分析 化简可得2b_n²=a_n+a_n+1，a_n+1=b_nb_n+1，从而可得{b_n}是以$\sqrt{2}$为首项，$\frac{\sqrt{2}}{2}$为公差的等差数列，再结合b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}$，代入化简求解即可．

解答 解：∵a_n，b_n²，a_n+1成等差数列，
∴2b_n²=a_n+a_n+1，
∵b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比数列，
∴a_n+1²=b_n²b_n+1²，
∴a_n+1=b_nb_n+1，
∴2b_n²=b_n-1b_n+b_nb_n+1，
∴2b_n=b_n-1+b_n+1，
∵a₁=1，b₁=$\sqrt{2}$，
∴a₂=3，b₂=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，a₃=6，b₃=2$\sqrt{2}$，
∴{b_n}是以$\sqrt{2}$为首项，$\frac{\sqrt{2}}{2}$为公差的等差数列，
∵b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}$，
∴2$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$+$\frac{{a}_{n+2}}{{b}_{n+2}}$，
且$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}$=$\sqrt{2}$，
故{$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$}是以$\frac{\sqrt{2}}{2}$为首项，$\frac{\sqrt{2}}{2}$为公差的等差数列，
故$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$n．
故选C．

点评 本题考查了等差数列等比数列的性质的判断与应用，同时考查了转化思想的应用．