Question

9．设函数f（x）=2lnx-$\frac{a}{2}$x²+（2a-1）x（a＞0）．若?x＞0，使得不等式f（x）＞3a-2成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 ?x＞0，使得不等式f（x）＞3a-2成立，则x＞0，使得不等式f（x）_max＞3a-2成立，利用导数可求．

解答 解：?x＞0，使得不等式f（x）＞3a-2成立，则x＞0，使得不等式f（x）_max＞3a-2成立，
∵f（x）=2lnx-$\frac{a}{2}$x²+（2a-1）x（a＞0），
∴f′（x）=$\frac{（ax+1）（-x+2）}{x}$，
∴函数在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，
∴x=2时，f（x）_max=2ln2+（2a-2），
∴2ln2+（2a-2）＞3a-2，
∴a＜2ln2．

点评 本题考查特称命题，考查导数知识的运用，?x＞0，使得不等式f（x）＞3a-2成立，则x＞0，使得不等式f（x）_max＞3a-2成立，是关键．