Question

11．已知函数f（x）=2lnx-$\frac{1}{2}$ax²-bx-1．
（1）当a=b=1时，求函数f（x）的最大值；
（2）当b=1，a≥0时，求函数f（x）的单调区间；
（3）当a=0，b=-4时，方程2m=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$有唯一实数根，求正实数m的值．

Answer 1

分析 （1）由a=b=1时，求得函数解析式，求导，由函数单调性与导数的关系，即可求得函数的最大值；
（2）由b=1，分类，根据函数的单调性与导数的关系，利用二次函数的性质，即可求得函数f（x）的单调区间；
（3）当a=0，b=-4时，f（x）=2lnx+4x-1，2m=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$有唯一实数根，构造辅助函数g（x）=$\frac{2lnx+4x-1}{{x}^{2}}$，（x＞0），求导，画出函数的大致图象，由直线y=2m与g（x）只有一个交点，即可求得正实数m的值．

解答 解：（1）当a=b=1时，f（x）=2lnx-$\frac{1}{2}$x²-x-1，定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{2}{x}$-x-1=-$\frac{{x}^{2}+x-2}{x}$=-$\frac{（x+2）（x-1）}{x}$，（x＞0），
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，
故f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，
故f（x）的极大值是f（1）=-$\frac{5}{2}$，
∴f（x）的最大值f（x）_max=-$\frac{5}{2}$；
（2）当b=1，f（x）=2lnx-$\frac{1}{2}$ax²-x-1．
求导f′（x）=$\frac{2}{x}$-ax-1=-$\frac{a{x}^{2}+x-2}{x}$，（x＞0），
当a=0，令f′（x）=0，解的：x=2，
当0＜x＜2，f′（x）＞0，f（x）在区间（0，2）上单调递增，
当x＞2，f′（x）＜0，f（x）在区间（2，+∞）上单调递减，
当a＞0时，令g（x）=ax²+x-2，△=1+8a，
△=1+8a＞0恒成立，
则g（x）由两个根x₁，x₂，且x₁＜x₂，
由f（x）的对称轴x=-$\frac{1}{2a}$＜0，由x₁+x₂=-$\frac{1}{a}$＜0，x₁x₂=$\frac{1}{a}$＞0，
∴x₁＜0＜x₂，
令ax²+x-2=0，解得：x₁=$\frac{-1-\sqrt{1+8a}}{2a}$，x₂=$\frac{-1+\sqrt{1+8a}}{2a}$，
∴当0＜x＜x₂，g（x）＜0，则f′（x）＞0，
当x＞x₂时，g（x）＞0，则f′（x）＜0，
∴函数f（x）的单调递增区间（0，$\frac{-1+\sqrt{1+8a}}{2a}$），单调递减区间（$\frac{-1+\sqrt{1+8a}}{2a}$，+∞）；
综上可知：当a=0，f（x）单调递增区间为（0，2），单调递减区间（2，+∞）；
当a＞2时，函数f（x）的单调递增区间（0，$\frac{-1+\sqrt{1+8a}}{2a}$），单调递减区间（$\frac{-1+\sqrt{1+8a}}{2a}$，+∞）；
（3）当a=0，b=-4时，f（x）=2lnx+4x-1，2m=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$有唯一实数根，
显然m≠0，则2m=$\frac{2lnx+4x-1}{{x}^{2}}$，（x＞0），
令y=2m，则g（x）=$\frac{2lnx+4x-1}{{x}^{2}}$，（x＞0），
求导g′（x）=$\frac{4（1-x-lnx）}{{x}^{3}}$，而h（x）=1-x-lnx在（0，+∞）单调递减，且h（1）=0，
当0＜x＜1，h（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）在（0，1）上单调递增；
当x＞1时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴g（x）_max=g（1）=3，
由 $\underset{lim}{x→∞}$g（x）=-∞，
则$\underset{lim}{x→∞}$g（x）=$\underset{lim}{x→∞}$$\frac{2lnx+4x-1}{{x}^{2}}$=$\underset{lim}{x→∞}$$\frac{\frac{2}{x}+4}{2x}$=0，
如图当2m=3，或2m＜0时，则y=2m与g（x）的图象只有一个交点，
解得：m=$\frac{3}{2}$或m＜0，
∴正实数m的值$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，求切线方程，求函数的最值等知识，注意恒成立问题的转化及构造法的运用，综合性强，属难题．