Question

4．在锐角△ABC中，交A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列
（Ⅰ）若$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$，b=$\sqrt{3}$，求a+c的值；
（Ⅱ）求2sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

分析 根据题意，求出B=60°，A+C=120°；
（Ⅰ）由数量积的定义得出c•a•cosB=$\frac{3}{2}$，求出ac的值，再利用余弦定理求出a²+c²的值，即可求出a+c；
（Ⅱ）利用三角恒等变换化简2sinA+sinC，根据C的范围求出2sinA+sinC的取值范围．

解答 解：锐角△ABC中，A、B、C成等差数列，
∴2B=A+C，
又A+B+C=180°，
∴B=60°，A+C=120°；
（Ⅰ）当$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$时，即c•a•cosB=$\frac{3}{2}$，
∴c•a•cos60°=$\frac{3}{2}$，
∴ac=3；
又b=$\sqrt{3}$，
∴b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-2•$\frac{3}{2}$=3，
∴a²+c²=6；
∴（a+c）²=a²+c²+2ac=6+2×3=12，
∴a+c=2$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）2sinA+sinC=2sin（120°-C）+sinC
=2sin120°cosC-2cos120°sinC+sinC
=$\sqrt{3}$cosC+2sinC
=$\sqrt{7}$sin（C+θ），且θ=arctan$\frac{\sqrt{3}}{2}$，30°＜C＜90°，
∴30°＜θ＜45°
∴60°＜C+θ＜135°，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（C+θ）≤1，
∴$\frac{\sqrt{14}}{2}$＜$\sqrt{7}$sin（C+θ）≤$\sqrt{7}$，
∴2sinA+sinC的取值范围是（$\frac{\sqrt{14}}{2}$，$\sqrt{7}$]．

点评 本题考查了平面向量以及三角恒等变换和余弦定理的应用问题，解题的关键是充分利用余弦定理的性质，是综合性题目．