Question

（本小题满分15分）过曲线C：外的点A（1，0）作曲线C的切线恰有两条，
（Ⅰ）求满足的等量关系；
（Ⅱ）若存在，使成立，求的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）。

试题分析：（Ⅰ），
过点A（1，0）作曲线C的切线，设切点，则切线方程为：
将代入得：
即（*）   ……………………………………………………5分
由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根。
令，，显然有两个极值点x＝0与x＝1，
于是或
当时，；
当时， ，此时经过（1，0）与条件不符
所以           …………………………………………………………………8分
（Ⅱ）因为存在，使，即
所以存在，使，得，即成立
设，问题转化为的最大值…………………………10分
，
，令得，
当时此时为增函数，当时，此时为减函数，
所以的最大值为
，的最大值，得
所以在上单调递减，
因此。       ……………………………………………………15分
点评：①求曲线的切线问题常利用导数的几何意义：在切点处的导数值为曲线的切线斜率，但要注意“在某点的切线”与“过某点的切线”的区别。②解决不等式恒成立问题或者存在性问题，常采用分离参数法转化为求函数的最值问题。