Question

【题目】已知函数（为自然对数的底数）.

（1）若在上单调递増，求实数的取值范围；

（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出函数的导数，解不等式得出，由题意得出，列出不等式组求出实数的取值范围；

（2）由可得对任意的恒成立，然后构造函数，将问题转化为，然后对实数的取值进行分类讨论，确定函数在区间上的最小值，解出不等式可得出实数的取值范围.

（1），

.

解不等式，得.

由于函数在区间上单调递增，则，

所以，解得，因此，实数的取值范围是；

（2）不等式对任意的恒成立，可得对任意的恒成立，构造函数，其中，则.

，构造函数，则，

当时，，则函数在区间上单调递增，

则.

①当时，即当时，对任意的，，

此时，函数在区间上单调递增，，

解得，此时，；

②当时，即当时，则存在，使得，

此时，.

当时，；当时，.

所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，

即，

即，得，又，所以，，解得，

此时.

构造函数，其中，，此时，函数单调递减，

所以，，即.

综上所述，实数的取值范围是.