题目内容
【题目】如图，四棱锥
，底面
是正方形，
，
，
，
分别是
，
的中点.
（1）求证
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
.
【解析】试题分析：（1）由题意，可取
中点
，连接
，则易知平面
∥平面
,由条件易证
平面，则平面，又
平面，根据线面垂直的定义，从而问题可得证；（2）由题意，采用坐标法进行求解，可取
中点
为坐标原点，过点作平行于
的直线为
轴，
为
轴，
为
轴，建立空间直角坐标系，分别算出平面
和平面
的法向量，结合图形，二面角
为锐角，从而问题可得解.
试题解析：（1）取中点，连结
，
，∵
是正方形，∴
，
又∵
，
，∴
，∴面，∴
，
又∵
，
，都是中点，∴
，
，∴面，
∴
；
（2）建立如图空间直角坐标系，由题意得
，
，
，
，则
，
，
，
设平面的法向量为
，则
，即
，
令
，则
，
，得
，
同理得平面
的法向量为
，
∴
，所以他的余弦值是.
【题目】为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北. 湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记．由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验．在某普查小区，共有 50 家企事业单位，150 家个体经营户，普查情况如下表所示：
普查对象类别 | 顺利 | 不顺利 | 合计 |
企事业单位 | 40 | 50 | |
个体经营户 | 50 | 150 | |
合计 |
（1）写出选择 5 个国家综合试点地区采用的抽样方法；
（2）补全上述列联表（在答题卡填写），并根据列联表判断是否有
的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；
（3）根据该试点普查小区的情况，为保障第四次经济普查的顺利进行，请你从统计的角度提出一条建议.
附：
| 0.10 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 6.635 | 10.828 |
