Question

【题目】已知函数，，其中.

（1）求过点和函数的图像相切的直线方程；

（2）若对任意，有恒成立，求的取值范围；

（3）若存在唯一的整数，使得，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），.（2）.（3）.

【解析】试题分析：（1）先设切点为，切线斜率为，再建立切线方程为，将代入方程可得，即，进而求得切线方程为：或.

（2）将问题转化为对任意有恒成立，①当时，，利用导数工具求得，故此时；

②当时，恒成立，故此时；③当时，，

利用导数工具求得，故此时.综上：.

（3）因为，由（2）知，

当，原命题等价于存在唯一的整数成立，利用导数工具求得；当，原命题等价于存在唯一的整数成立，利用导数工具求得.综上：.

试题解析：

（1）设切点为，，则切线斜率为，

所以切线方程为，因为切线过，

所以，

化简得，解得.

当时，切线方程为，

当时，切线方程为.

（2）由题意，对任意有恒成立，

①当时，，

令，则，令得，

，故此时.

②当时，恒成立，故此时.

③当时，，

令，

，故此时.综上：.

（3）因为，即，

由（2）知，

令，则

当，存在唯一的整数使得，

等价于存在唯一的整数成立，

因为最大，，，所以当时，至少有两个整数成立，

所以.

当，存在唯一的整数使得，

等价于存在唯一的整数成立，

因为最小，且，，所以当时，至少有两个整数成立，

所以当时，没有整数成立，所有.

综上：.