Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，.

（1）求证：平面PAD；

（2）求PD与平面PCE所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）设中点为，连结,推导出四边形是平行四边形，从而四边形是平行四边形，进而，由此能证明平面.

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与平面所成角的正弦值.

（1）设PA中点为G，连结EG，DG.

因为，且，，

所以且，

所以四边形为平行四边形.

所以，且.

因为正方形，所以，，

所以，且.

所以四边形为平行四边形.

所以.

因为平面，平面，

所以平面.

（2）如图建立空间坐标系，则，，，，，

所以，

设平面PCE的一个法向量为，

所以.

令，则，所以.

设PD与平面PCE所成角为，

则.

所以PD与平面PCE所成角的正弦值是.