Question

12．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为棱AD，AB的中点．
（1）求证：EF∥平面CB₁D₁；
（2）求证：B₁D₁⊥平面CAA₁C₁．

Answer 1

分析 （1）欲证EF∥平面CB₁D₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面CB₁D₁内一直线平行，连接BD，根据中位线可知EF∥BD，则EF∥B₁D₁，又B₁D₁?平面CB₁D₁，EF?平面CB₁D₁，满足定理所需条件；
（2）欲证平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁，根据面面垂直的判定定理可知在平面CB₁D₁内一直线与平面CAA₁C₁垂直，而AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，则AA₁⊥B₁D₁，A₁C₁⊥B₁D₁，满足线面垂直的判定定理则B₁D₁⊥平面CAA₁C₁．

解答 （本题满分为12分）
证明：（1）连接BD，
因为正方体，所以BB₁∥DD₁，所以四边形BDD₁B₁为平行四边形，
所以BD∥B₁D₁，
因为EF∥BD，由平行线传递性得：EF∥B₁D₁，
因为B₁D₁?面CB₁D₁，EF?面CB₁D₁，
所以EF∥平面CB₁D₁．（6分）
（2）因为在正方体中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，
所以AA₁⊥B₁D₁．（10分）
又因为在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，
所以B₁D₁⊥平面CAA₁C₁．（12分）

点评 本题主要考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．