题目内容
2．已知各项均为正数的数列{an}满足an+1=sinan（n∈N*），则下列的说法中，正确的是（ ）| A． | {an}是单调递减数列 | B． | {an}是单调递增数列 | ||
| C． | {an}是周期数列 | D． | {an}是常数数列 |
分析 先构造函数f（x）=x-sinx，x∈[0，+∞），根据函数性质得出结论：sinx≤x对任意x∈[0，+∞）恒成立，再判断该数列单调递减．
解答 解：先构造函数f（x）=x-sinx，x∈[0，+∞），
f'（x）=1-cosx≥0对任意x∈[0，+∞）恒成立，
所以，f（x）单调递增，且f（0）=0，
因此，当x≥0时，f（x）≥0，
所以，sinx≤x对任意x∈[0，+∞）恒成立，仅当x=0时，取“=”．
根据题意，数列{an}的各项均为正数，
所以，an+1=sinan＜an，
即an+1＜an恒成立，所以数列{an}单调递减，
故答案为：A．
点评 本题主要考查了数列的单调性，以及导数在研究函数性质中的应用，属于中档题．
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| A． | （$\sqrt{3}$，2） | B． | （1，2） | C． | （-2，-$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，2） | D． | （-2，-$\sqrt{3}$） |
函数f（x）=x-lnx．
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| A． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D． | 1 |