Question

1．已知函数$f（x）=2cosxsin（{x+\frac{π}{3}}）-\sqrt{3}{sin^2}x+sinxcosx$．
（1）求函数f（x）的最小正周期T；
（2）在给出的直角坐标系中，画出函数f（x）在$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上的图象；
（3）若当$x∈[{\frac{π}{12}，\frac{7π}{12}}]$时，f（x）的反函数为f^-1（x），求f^-1（1）的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换，化简函数的解析式，可得该函数的最小正周期．
（2）用五点法作函数f（x）在$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上的图象．
（3）由题意利用反正弦函数的定义，由f（x）=1，求得x的值，可得f^-1（1）的值．

解答 解：（1）函数$f（x）=2cosxsin（{x+\frac{π}{3}}）-\sqrt{3}{sin^2}x+sinxcosx$=2cosx（sinx•$\frac{1}{2}$+cosx•$\frac{\sqrt{3}}{2}$）-$\sqrt{3}$•$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2x}{2}$-$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
故该函数的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）画出函数f（x）在$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上的图象，如图所示：

2x+$\frac{π}{3}$	-$\frac{2π}{3}$	-$\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{4π}{3}$
x	-$\frac{π}{2}$	-$\frac{5π}{12}$	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$
f（x）	-$\sqrt{3}$	-2	0	2	0	-$\sqrt{3}$

如图所示：

（3）若当$x∈[{\frac{π}{12}，\frac{7π}{12}}]$时，f（x）的反函数为f^-1（x），
由2sin（2x+$\frac{π}{3}$）=1，求得sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$．
结合2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$，∴x=$\frac{π}{4}$，即f^-1（1）=$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，用五点法作正弦函数的图象，反正弦函数的定义，属于中档题．