题目内容

13.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c•cosB=2a+b,若△ABC的面积$S=\sqrt{3}({a+b})$.
(Ⅰ)求C的度数;
(Ⅱ)求ab的最小值.

分析 (Ⅰ)由余弦定理及已知可得:$2c•\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=2a+b$,整理后可求cosC的值,结合范围C∈(0,π),即可得解C的值.
(Ⅱ)利用三角形面积公式及已知可得$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ab$,利用基本不等式即可求得$\sqrt{ab}≥8,ab≥64$,从而得解.

解答 (本题满分为12分)
解:(Ⅰ)在△ABC中,由余弦定理可得:$2c•\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=2a+b$,
整理可得:a2+b2-c2=-ab,…3分
故$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=-\frac{1}{2}$,…5分
因为C∈(0,π),故$C=\frac{2π}{3}$…6分
(Ⅱ)因为$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ab$,
故$\frac{{\sqrt{3}}}{4}ab=\sqrt{3}(a+b)≥2\sqrt{3}\sqrt{ab}$…10分
化简得$\sqrt{ab}≥8,ab≥64$…11分
当且仅当a=b=8时等号成立.
所以ab的最小值为64.…12分.

点评 本题主要考查了余弦定理,三角形面积公式,基本不等式在解三角形中的应用,属于中档题.

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